多面体黄金公式
平面几何中的正多边形有无穷多种，在立体几何当中，由全等正
多边形为面每顶处棱数相等的正多面体是否也有无穷多种?如果不
是，共有几种正多面体，它们的顶数、棱数和面数是多少?对于一般
的凸多面体，有没有任意棱数的多面体?例如，有七条棱的多面体
吗?
1736年，欧拉给出了一个关于多面体的公式，一劳永逸地彻底
解决了这些问题。我们知道，多面体是平面图，讨论平面图可以解决
多面体的一些问题。
把连通平面图G画在平面上，使无边在内点相交，把平面划分
成若干区域，每一区域称为平面图的一个面，面数用Φ表示，若v和
ξ分别表示顶数和边数，则下面的欧拉公式成立
　　v一ξ+Φ=2
由于这个公式简单漂亮，用途极广，人称多面体黄金公式，它的证明
十分简洁，对Φ用数学归纳法证明如下：
Φ=l时，G中无圈，又G连通，则G是树，于是Φ=1，ξ=v一1，
这时v—ξ+ξ=v一(v—1)十1=2，欧拉公式成立。
假设对于Φ≤k(k≥1)时，公式已成立，考虑Φ=k+l的情形，
由于Φ=k+1≥2，G中有圈，设e是某圈C上一边，则G—e仍是连
通图，被e分隔的两个面变成G—e中的一个面，于是Φ(G—e)=k，
由归纳法假设
v(G—e)一￡(G—e)+Φ(G一e)=2
v(G)一[ξ(G)一1]+[Φ(G)一1]=2
v(G)一ξ(G)+ξ(G)=2
证毕。
把平面图画在平面上，使得边不交叉，可以有多种画法，例如可
使任一顶点画在平面上面积无穷的那个所谓外面的边界上，但由欧
拉公式，各种画法的面数Φ是常数。