已知圆的方程为：及定点

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已知圆的方程为:(x+3)²+y²=100及定点N(3,0),动点P在圆M上运动，线段PN的中垂线交圆M的半径MP于Q点，设点Q的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）试问：过点T（0，根号10）是否存在直线L，使直线L与曲线C交于A，B点，且OA的向量乘以OB的向量=0，（0为坐标原点），若存在求出直线L的方程，不存在说明理由。
解：（1）.圆心M（-3，0），半径R=10，设圆上动点P的坐标
为（10cost-3,10sint).
线段PN所在直线的斜率K1=10sint/(10cost-6)
=5sint/(5cost-3)
线段PN的中点G(5cost,5sint).
PN的中垂线L的斜率K2=-1/k1=(3-5cost)/5sint
PN的中垂线L的方程为：y=[(3-5cost)(x-5cost)/5sint]+5sint
半径MP的斜率K3=10sint/10cost=tant
半径MP所在直线的方程为：y=(tant)(x+3)
令[(3-5cost)(x-5cost)/5sint]+5sint=(tant)(x+3)
解之得Q点的坐标（x,y):
x=(25cost-15)/(5-3cost)..............(1)
y=(tant)[(25cost-15)/(5-3cost)+3]
=16sint/(5-3cost)....................(2)
这就是动点Q的轨迹的参数方程.下面消去参变数 sint和cost:
由（1）得cost=(5x+15)/(3x+25),代入（2）式得：
y=16{±√[1-(5x+15)²/(3x+25)²]}/[5-3(5x+15)/(3x+25)]
=±√[(3x+25)²-(5x+15)²]/5=±[√(-16x²+400)]/5
去分母，再平方之，即得轨迹方程为：
25y²+16x²=400,即
x²/25+y²/16=1为所求。
上述方法是求动点轨迹的一般方法，但往往很笨！如果认真研究
一下本题的图形，就会发现很简单的方法。
因为Q点在线段PN的中垂线上，因此恒有QN=QP，故点Q到两定
点M（-3，0）和N（3，0）的距离和QM+QN=QM+QP=MP=圆的半
径R=10。所以Q点的轨迹是一个椭圆,其参数为：
2a=10,a=5;2c=MN=6,c=3; 故b²=a²-c²=25-9=16.
∴椭圆方程为：x²/25+y²/16=1.
(2).设过（0，√10）的直线方程为:
y=kx+√10, 代入椭圆方程得：
25（kx+√10)²+16x²=400, 即
（25k²+16)x²+50(√ 10)kx-150=0
于是XA+XB=-50(√ 10)k/(25k²+16)
XA*XB=-150/(25k²+16)
YA*YB=(KXA+√10)(KXB+√10)=K²(XA*XB)+K(XA+XB)√10+10
=-150K²/(25K²+16)-500K²/(25K²+16)+10
=(-400k²+160)/(25k²+16)
向量OA=XAi+YAj; 向量OB=XBi+YBj
OA•OB=XA*XB+YA*YB
=-150K²/(25K²+16)+(-400K²+160)/(25K²+16)
=(-550K²+160)/(25K²+16)=0
得k²=16/55, 故k=±√(16/55)=±4(√55)/55
故存在过T（0，√10）的直线L，其方程为：y=±[4(√55)/55]x+√10.