一些三角题目

特邀回答的答案

1.arc sin√2>arc sin(√2/2)为什么是错的
解：设y=sinx,定义域：x∈(-∞,+∞);值域：y∈[-1,+1];
又由于y=sinx是周期函数，其反对应关系不是一对一，而是
一对多，即一个X可以对应无数多个Y，这样按函数的定义，它
没有反函数，即正弦函数在其全部定义域内没有反函数，这就是
所谓“只有一一对应的函数才有反函数”。为了让正弦函数有反
函数，人为地规定只取其一个周期X∈[-π/2，π/2]来确定其反
函数，即规定反函数x=arcsiny的定义域为y∈[-1,+1];其值
域为x∈[-π/2，π/2]。
因为习惯上总是把Y当作因变量，X当作自变量，因此反函数要
把X和Y作交换，从而变成y=arcsinx,这样其定义域为X∈[-1,+1];
值域Y∈[-π/2，π/2]。
明白这个基本道理，你就应该明白该题的错误在哪里啦！
√2>1,即√2根本不在反正弦函数的定义域内，因此arcsin√2
毫无意义，那怎么会有arcsin√2>arcsin(√2/2)呢？（注
意后者arcsin(√2/2)有意义，它等于π/4。）
2.函数y=π/2- arc cotx是——递增减函数
解：先告诉你一个基本规则：增函数的反函数仍是增函数，
减函数的反函数仍是减函数。
y=cotx是减函数，因此y=arccotx也是减函数；但
y=-arccotx则是增函数，因为其前面乘了一个负号。所以
y=π/2- arc cotx是增减函数，前面的常量π/2对函数的本
质属性没有影响。
3.cos(2arc tan√2+π/3)的值为—— -（1+2√6)/6
解：设arctan√2=θ,则tanθ=√2,于是sinθ=√2/√3=√6/3;
cosθ=1/√3=√3/3.
※你可以画一个直角三角形ABC（马上动手），取∠A=θ，
C为直角，因为tanθ=tanA=√2=√2/1=CB/CA,故可取CB=√2,
CA=1，那么AB=√3,于是sinθ=sinA=CB/AB=√2/√3=√6/3;
cosθ=CA/AB=1/√3=√3/3.※
∴cos(2arctanθ+π/3)=cos(2θ+π/3)
=cos2θcos(π/3)-sin2θsin(π/3)
=(1/2)cos2θ-(√3/2)sin2θ
=(1/2)(2cos²θ-1)-(√3/2)*2sinθcosθ
=cos²θ-1/2-√3sinθcosθ
=cosθ(cosθ-√3sinθ)-1/2
=(√3/3)[√3/3-√3(√6/3)]-1/2
=1/3-√6/3-1/2=-（1+2√6)/6
4.方程sin（x/2）=1/3在[π，2π]上的解是 -2arc sin(1/3)+2π
解：由sin(x/2)=1/3得：
x/2=kπ+[(-1)^k]arcsin(1/3),故其通解为：
x=2kπ+[(-1)^k]*2arcsin(1/3) k∈Z.
又由于规定π≤x≤2π,且0<arcsin(1/3)<π/6,0<2arcsin(1/3)<π/3.
∴只能取k=1,即x=2π-2arc sin(1/3).
5.若0<a<1,在[0,2π]上满足cosx≤-a的x的范围是
[π- arc cosa,π+arc cosa]
4和5的范围是怎么找的，我总是找不对
解：∵0<a<1，∴-1<-a<0.
注意：arccos(-x)=π-arccosx.
故 arccos(-a)=π-arcsina
在[0，2π]内作一条余弦曲线，然后再在Y轴上取一点-a(在Y轴的
负半轴上），过-a作一条水平线与余弦曲线会有两个交点，作边交
点的横坐标就是π-arcsina,右边交点的横坐标就是π+arccosa，
当π-arcsina≤x≤π+arccosa时，都有cosx≤-a.

※这都是一些基本概念题，很简单，但回答起来却很麻烦！
看起来，你还得加油！