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小楼一夜听春雨
1．关于x的方程sinx+√3cosx=a(0≤x≤∏/2)
1．关于x的方程sinx+√3cosx=a(0≤x≤∏/2)有两个异根，则实数a的取值范围是（ ）
2．tanx=6,那么1/2×sin²x+1/3×cos²x=( )
请指教过程
小九妹最佳答案 - 由提问者2008-01-13 09:31:22选出
1.解：sinx+(√3)cosx=a
2[(1/2)sinx+(√3/2)cosx]=a
2[sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)]=a
故得2sin[x+(π/3)]=a
即sin[x+(π/3)]=a/2
由于0≤x≤π/2,∴π/3≤x+π/3≤5π/6
作y=sinu(0≤u≤π)的图象，由图可见sin(π/3)=√3/2,sin(5π/6)=sin(π/6)=1/2，sin(π/2)=1,要使原方程有相异二实根，必须√3/2≤a/2<1,即
√3 ≤a<2.
2.解：∵tanx=6,∴sinx=±6/√37,cosx=±1/√37.
(sinx)^2=36/37, (cosx)^2=1/37.
∴(1/2)(sinx)^2+(1/3)(cosx)^2=(1/2)(36/37)+(1/3)(1/37)=55/111.
※由tanx=6求sinx和cosx有一个最简单的办法：做一个直角三角形，取一锐角作x,那么角X的对边是6，邻边是1，斜边是√37，于是sinx=6/√37,cosx=1/√37.再考虑tanx=6>0,x可能是第一或第三象限的角，
因此sinx和cosx的值都要带±号。
提问者对最佳答案的评价
ok
其他回答(3)
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sinx+√3cosx=a,1/2sinx+√3/2cosx=a
sin(∏/3+x)=a(0≤x≤∏/2)有两个异根∏/3≤x≤2∏/3
1/2×sin²x+1/3×cos²x=1/6sin²x+1/3=1/6(tan^2a/1+tan^2a)+1/3
=55/111 -
1.原式=2[sinx*cos(∏/3)+cosx*sin(∏/3)]
=2sin[x+(∏/3)]
因为:
0≤x≤∏/2
所以:
∏/3≤x+∏/3≤5∏/6
再看此时对应的正弦曲线y=sin[x+(∏/3)],可以得到:
只有在[∏/3,∏/2)∪（∏/2,2∏/3]时才有两个相应的x值对应同一个a值,此时也就有:√3≤2sin[x+(∏/3)]<2
即:√3≤a<2
2.因为:tanx=6
所以:cotx=1/6
所以:(cosx)^2=1/(secx)^2=1/[1+(tanx)^2]=1/37
同理有:(sinx)^2=1/(cscx)^2=1/[1+(cotx)^2]=36/37
或(sinx)^2=1-(cosx)^2=36/37
所以:(1/2)*(36/37)+(1/3)*(1/37)=55/111 -
1,方程两边同时除于2；1/2sinx+√3/2cosx=a/2
得sin30sinx+cos30cosx=a/2
sin(30+x)=a/2
因为sinx 的范围[-1，1]
所以a的范围[-2，2]
2思路知道，不讲了
寒江秋色
j2249599
