定积分证明题~~~~~

最佳答案 - 由投票者2008-07-11 10:52:04选出

证明: ∫(0,π)xf(sinx)dx = π/2∫(0,π)f(sinx)dx
期末要考得题呀。。。求高手解答，跪谢~~
证明：令x=π-y,则dx=-dy; x=0时，y=π; x=π时，y=0.
sinx=sin(π-y)=siny.
故∫（0，π）xf(sinx)dx=∫(π,0)(π-y)f(siny)(-dy)
=-∫(π,0)πf(siny)dy+∫(π,0)yf(siny)dy
=π∫(0,π)f(siny)dy-∫(0,π)yf(siny)dy
(将y更名为x,则:）
=π∫（0，π）f(sinx)dx-∫(0,π)xf(sinx)dx
移项得2∫（0，π)xf(sinx)dx=π∫(0,π)f(sinx)dx
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx. 故证。