求 1×2 + 2×3 + … + n（n+1）的值。

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求 1×2 + 2×3 + … + n（n+1）的值。

2008-10-07 20:16:08 - 1个回答 - 10

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wjl371116

少保

特邀回答的答案

求 1×2 + 2×3 + … + n（n+1）的值。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+...+n×(n+1)
=(2-1)×2+(3-1)×3+(4-1)×4+(5-1)×5+...+(n+1-1)×(n+1)
=2²+3²+4²+5²+...+(n+1)²-[2+3+4+5+...+(n+1)]
=(1/6)(n+1)(n+2)(2n+3)-1-[2+(n+1)]n/2
=(1/6)(n+1)(n+2)(2n+3)-(n²+3n+2)/2
=(2n³+6n²+4n)/6
=(n³+3n²+2n)/3
=n(n²+3n+2)/3
=n(n+1)(n+2)/3

2008-10-07 22:42:21

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wjl371116
少保


这样作可能更好一些：
原式=1×（1+1）+2×（1+2）+3×(1+3)+...+n×(1+n)
=(1+2+3+...+n)+(1²+2²+3²+...+n²)
=n(n+1)/2+n(n+1)(2n+1)/6
=[3n(n+1)+n(2n²+3n+1)]/6
=(2n³+6n²+4n)/6
=n(n²+3n+2)/3
=n(n+1)(n+2)/3

2008-10-08 07:02:34 - 检举
wjl371116
少保


其中用了公式：
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

2008-10-07 22:44:11 - 检举