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jolly004@yah
zhang314159265最佳答案 - 由提问者2008-10-21 22:43:41选出
如图:M为半圆AMB上任一点,设直径AB长为2R,则
∠AMB=90°,直角三角形AMB中:
MB=2RsinA
MA=2RcosA
MB+MA=2R(sinA+cosA)
=2√2R(√2/2*sinA+√2/2*cosA)
=2√2Rsin(A+45°)
当A=45°,即MAB构成等腰直角三角形(M为半圆弧中点)时
有最大值2√2R(R为圆半径)
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其他回答(2)
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解：
设到两个端点的距离分别为x和y，圆的直径长为d。
因为组成了一个直角三角形，所以
x²+y²=d²
使得x+y最大，也就是(x+y)²最大。
(x+y)²=x²+y²+2xy=d²+2xy ①
根据: 当a²+b²为定值时，ab≤(a²+b²)/2,当且仅当a=b时取得最大值。
故：①式≤d²+2*[(x²+y²)/2]=2d²
当且仅当x=y时，(x+y)²取得最大值2d²。
故：
该点就是该半圆弧的中点。 -
设半圆上一点到直径2R两端点的距离分别为A,B(A>0,B>0). 因为这点在半圆上,所以构成直角三角形.满足A^2+B^2=(2R)^2,即A^2+B^2=4R^2.
欲求的是半圆上一点到直径两端点之和的最大值,即是求A+B的最大值.
由A>0,B>0,而且又因为公式[X^2+Y^2≥2XY],当且仅当X=Y时取"=".
则A+B=√(A+B)^2=√(A^2+2AB+B^2)=√(A^2+B^2+2AB)
≤√(A^2+B^2+A^2+B^2)=√[2(A^2+B^2)]=√[2×4R^2]=2√2R.
当且仅当A=B时成立.
所以当半圆上一点到直径两端点与这直径围成的三角形是等腰直角三角形时,半圆上一点到直径两端点之和有最大值为2√2R.
