e^i兀+1=0证明
我们还知道，数学中有著名的“五朵金花”0，1(都来自
算术)，i(来自代数)，兀(来自几何)，e(来自分析学)。妙
不可言的是这“五朵金花”同时绽开在一个公式——e^i兀+1=0
中，它发表在欧拉1748年的名著《无穷分析引论》中。
在这个“五朵金花公式”中，两个最著名的超越数结伴而
行，实数和虚数熔于一炉，被德国数学家克莱因(I~elix Klein，
1849～1925)称为“整个数学中最卓越的公式之一”，也有数
学家称之为数学中“最优美的公式之一”。怪不得美国数学家
卡斯纳(Edward。Kasner·)和纽曼(JalTles Newman)在《数学
和想象力)一书中认为：它可能是“世界上最短也是最有名的
公式……无论是神秘主义者、科学家、哲学家、数学家，都能
感受到它的魅力”。而以色列学者伊莱·马奥尔(Eli Maor)在
(无穷之旅——关于无穷大的文化史》一书中的评价则为：“很
多人认为它具有不亚于神的力量。”
那么，这个式子是怎么得来的呢?
设z=z+iy(这里，i=√一1，z，y都是实数)，这样
e＾ｚ＝e＾（ｘ+ｉy）＝ｅ＾ｘ*ｅ＾ｉｙ。ｊｉｕ
就是e＾ｚ／e＾ｘ=e＾iy。
用牛顿幂级数展开式
e＾ｘ＝1+ｘ+ｘ＾２／2 ！ +ｘ＾３／3 ！ +…+ｘ＾ｎ／ｎ! +…
把e^iy展开，就得到
e^z／e^x=e^iy
=1+iy-y^2／2!-iy^3／3!+y^4／4!+iy^5／5!一y^6／6!-…
=(1一Y^2／2 !十Y^4／4 !一Y^6／6 !+…)
+i(y—Y^3／3!+Y^5／5 !-…)
由于cosy=(1一Y^2／2 !十Y^4／4 !一Y^6／6 !+…)，siny=
(y—Y^3／3!+Y^5／5 !-…)
所以
e^(x+iy)=e^x·e^iy=e^x(cosy+isiny)
即
e^iy=(cosy+isiny) (5．8)
这就是著名的“欧拉公式”。
神奇的欧拉公式被美国数学家塞路蒙·波克纳(Salomon
Bocher)在<数学在科学起源中的作用>中称为“魔术般的公
式”。欧拉公式的另一种证明将在8．8中给出。
设欧拉公式中的Y=兀，就得到“欧拉关系式”e^i兀=一1，
或变为前面的样子：e^i兀+1=0
我们还可以继续下去，同样可以得到有e的式子。
再设(5．8)式中的Y=一Y，就得到
e^-iy=(cosy—isiny) (5．9)
最后依次把(5．8)和(5．9)式相加和相减就得到同样著
名而美妙的两个公式
cosy=(e^iy+e^-iy)／2
siny=(e^iy-e^-iy)／(2i)
这两个公式也叫欧拉公式，它们和e^iy=(cosy+isiny)
是欧拉在1743年发表的。在欧拉1748年出版的名著<无穷分
析引论》的第8章中也有记载。