圆X^2 y^2 (a^2-5)x (2a-6) 2=0

最佳答案 - 由投票者2008-10-26 23:52:03选出

(一).圆x²+y²+(a²-5)x+(2a-6)y+2=0在坐标轴上的四个截距之
和为3，求a的值。
解：令y=0,即得：
x²+(a²-5)x+2=0
于是圆在X轴上的截距x1和x2是该方程的两个根，依韦达定理有：
x1+x2=5-a².............(1)
再令X=0，即得：
y²+(2a-6)y+2=0
同理有：
y1+y2=6-2a..............(2)
依题意有：
x1+x2+y1+y2=5-a²+6-2a=3
即有：a²+2a-8=(a+4)(a-2)=0
故a1=-4, a2=2.
用a1=-4代入原式得：
x²+y²+11x-14y+2=0
配方得：(x+11/2)²+(y-7)²-121/4-49+2=0
得(x+11/2)²+(y-7)²=309/4(实圆，a=-4可取）.
用a2=2代入原式得：
x²+y²-x-2y+2=0
即(x-1/2)²+(y-1)²-1/4-1+2=0
(x-1/2)²+(y-1)²=-3/4(这是虚圆，故a2=2应舍去）
故a=-4为所求.

(二).已知直线ax+by=r²(r为常数），且a²+b²=r².试问是否存在
一个定圆与所有这些直线都相切？若存在，求出定圆方程；若不
存在，说明理由。
解：这个定圆的方程就是：x²+y²=r².......(1)
圆（1）上任意一点P的坐标（a,b)满足方程（1），即有a²+b²=r².
过圆（1）上的点P的切线的斜率K=-a/b,正好是直线ax+by=r²
的斜率，且P（a,b)满足直线方程，即有a²+b²=r².
故（1）为所求。